Los límites del conocimiento humano

Como animales, los humanos estamos sujetos a limitaciones de percepción y de entendimiento. El cerebro humano, como el del resto de los animales, evolucionó no para percibir el mundo como es, en su esencia, sino para percibir aquellos asuntos del mundo que nos conciernen directa o indirectamente. Estas percepciones tienen que transitar de manera inevitable a través de nuestros limitados sentidos y después a través de nuestro cerebro y las estructuras de pensamiento que posee.

Sabemos que la consciencia y la inteligencia no son aspectos exclusivos de nuestra especie. Todas las especies animales poseen algún conocimiento del mundo, sienten el mundo (y por tanto son conscientes) y reaccionan ante él. Sin embargo no podemos esperar que un cuervo, animal al que se le han observado comportamientos altamente inteligentes, tenga alguna idea del proceso de fotosíntesis en las plantas, pues quizá ese proceso no forme parte de su imagen del mundo (a pesar de que tenga una estrecha relación con la vegetación), tal como ha pasado a formar parte a la imagen humana del mundo a través de la empresa científica.

Gran parte del optimismo de los científicos que creen que en el futuro podremos tener una teoría del todo, que englobe una descripción y entendimiento de todos los fenómenos del universo, surge del éxito que ha tenido la ciencia como empresa que va en busca del conocimiento. La ciencia, como estructura del pensamiento humano, ha mostrado poseer un poder extraordinario.

En tan sólo unos pocos siglos, nuestra imagen del mundo ha pasado de ser la de un cosmos controlado por los dioses y delimitado por los cuerpos conocidos desde la antigüedad y por la inmutable bóveda celeste, hasta convertirse en una vasta extensión poblada de miles de millones de galaxias, cada una con miles de millones de estrellas como nuestro Sol, donde ni siquiera los cielos son inmutables, encontrándose todo en constante cambio.

Es esta inflacionaria expansión de las fronteras de nuestra imagen del mundo la que ha despertado el optimismo de que algún día seamos capaces de entender la totalidad de la existencia. Y en el centro de esa expansión se encuentran estructuras de pensamiento dictadas por el lenguaje, en particular el de las matemáticas.

En “Seeing voices”, Oliver Sacks muestra casos de personas que nacieron sin la habilidad de escuchar o que la perdieron durante etapas críticas para la adquisición del lenguaje, personas a las que nadie se ocupó en esos años tempranos de enseñarles algún tipo de lenguaje. Dado que estos individuos no conocían el lenguaje en ninguna de sus formas, eran incapaces de expresarse y de comprender aspectos del mundo que para un oyente y hablante de cierta edad son dados por hecho. Uno de los casos más interesantes es el de un chico sordo y sin conocimiento de ningún lenguaje llamado Ildefonso, un chico mexicano, al que se le comenzó a enseñar el lenguaje, pero que no mostraba avances sino sólo para repetir sin comprender lo que se le decía (ecolalia), pero un día el chico descubrió las matemáticas, y con sorprendente rapidez pudo comenzar a aprender y asimilar las ideas mostradas con ese lenguaje.

Penrose, en relación a ello, concluye que las palabras son casi inútiles para el pensamiento matemático.

En un caso descrito por Vygotsky, un joven de nombre Massieu no poseía lenguaje alguno, su instructor escribía los nombres de los objetos en las figuras de esos objetos que Massieu solía dibujar. Al principio, Massieu veía eso como algo místico, él no tenía idea de cómo las palabras podían funcionar como imágenes de los objetos y representarlos con tanta rapidez y precisión. De pronto, Massieu se percató de que palabras específicas representaban entidades abstractas, entendió la representación abstracta y simbólica. Su mente cambió para siempre. Desde ese momento, Massieu desarrolló una hambre tremenda por los nombres, y le pedía a su instructor que nombrara todo lo que veía durante sus paseos.

¿De qué sirve nombrar? Tiene que ver, escribe Sacks, con el poder primario de las palabras para definir, para enumerar, para permitir la maestría y la manipulación; para moverse desde el reino de los objetos e imágenes al mundo de los conceptos y nombres. Un dibujo de una silla representa a una silla en particular, pero el nombre “silla” denota a la clase entera de las sillas, a la identidad general que aplica para todas las sillas.

Para Vygotsky, el desarrollo de las funciones psicológicas superiores no es algo que ocurra de manera natural, automática, sino que requiere meditación, cultura, una herramienta cultural.

Para Platón, uno primero tiene que ver sillas reales o cuadrados reales (todo tipo de objetos con la propiedad de ser cuadrados, “cuadricidad”, o alguna otra cualidad), y sólo así la idea de “cuadricidad” llega, el arquetipo o cuadrado ideal del que todos los cuadrados son meras copias. Para Platón, el lenguaje, el conocimiento, la epistemología, es innata (todo el aprendizaje es esencialmente reminiscencia), pero esto sólo puede ocurrir con un mediador, en el contexto del diálogo.

Individuos que vivieron muchos años en aislamiento, de pronto entran al mundo del lenguaje cuando tienen contacto con mediadores humanos, y se vuelven capaces de generar ideas abstractas del mundo.

Muchas otras especies animales han desarrollando un lenguaje tan elaborado como el de nuestra especie. Especies de aves poseen más fonemas que todos los fonemas juntos de todos los idiomas humanos. Podemos preguntarnos qué clase de explosión de pensamiento pueda llegar a originarse si la mente humana algún día es capaz de tener acceso a los lenguajes de otras especies, extendiendo nuestro lenguaje a potencialidades de las que actualmente es imposible pensar.

Otro individuo, describe Sacks, de nombre Joseph, era incapaz de comunicar, por ejemplo, cómo le había ido en la semana, pues él no podía asimilar la idea de una pregunta (lo que era una pregunta no tenía sentido alguno para él), ni mucho menos formular una respuesta. No sólo era el lenguaje lo que estaba ausente allí, sino un claro sentido del pasado, la capacidad de distinguir entre “hace un día” y “hace un año”. Joseph no podía retener ideas abstractas en la mente, era incapaz de reflexionar o de planear.

Como apunta John Locke, en nuestro esfuerzo de alcanzar certidumbre filosófica o científica, nuestros esfuerzos para emplear la razón son comúnmente quebrantados por el mal uso o el abuso del lenguaje. Y también, podríamos agregar, por su falta de uso.

Está claro que la capacidad del lenguaje no es algo que haga humanos a los humanos, pero sí es una capacidad que le permite entrar al reino del pensamiento abstracto.

Desde el punto de vista de Locke, es difícil asegurar la realidad de nuestro conocimiento humano en evidencia de su conformidad con la naturaleza de las cosas en sí. ¿Qué hace que una imagen mental de algo diga algo sobre la naturaleza de lo que intenta representar? Pero no siempre tenemos que tener conocimiento genuino. La facultad de juicio, cuando funciona propiamente, nos persuade a asentir ante proposiciones cuya verdad permanece últimamente incierta, ya sea porque la ignorancia es producto de un pensamiento incompleto o por la naturaleza misma de la cosa.

Entonces, nuestro juicio, basado en la experiencia previa y en la disponibilidad de evidencias a favor o en contra de algo, usualmente nos guía en los casos en los que nuestro conocimiento permanece incompleto.

Podemos imaginarnos a los primeros humanos, con un conocimiento muy escaso sobre el mundo que les rodeaba, que comenzaron a adquirir la habilidad de pensar con claridad sobre el espacio y el tiempo y los objetos que se mueven en ellos. La herramienta del juicio debió de ser más vital en esas instancias, cuando la imagen del mundo de los primeros humanos no les permitía conocer la naturaleza de gran parte de los estímulos que asaltaban a sus sentidos.

Hay evidencias de que el lenguaje simbólico surgió a partir de cierto punto cercano en tiempo a la invención de la agricultura, hace unos 10 mil años, sin embargo sus fundamentos, las primeras pinturas encontradas en cuevas, comenzaron a establecerse desde hace cerca de 40 mil años: debió darse un largo proceso desde las primeras representaciones abstractas hasta el estado del lenguaje y representación en el que nos encontramos hoy en día.

Como estructura, el cerebro no ha cambiado considerablemente desde esos tiempos, pero sus capacidades se han incrementado de gran forma gracias al desarrollo de nuestras estructuras de pensamiento.

Así como el lenguaje en los humanos nos brinda la capacidad de abstraer y de pensar en nuevas estructuras, la matemática, otro lenguaje desarrollado por los humanos, nos permite pensar estructuradamente sobre la dinámica del cosmos y sobre objetos que muchas veces no tienen relación con él. Hasta ahora, la matemática ha sido una de las herramientas más poderosas inventadas (y/o descubiertas) por nuestra especie. Sabemos que otras especies son capaces de contar y de pensar en números, pero como humanos podemos describir la dinámica de una galaxia con cierto grado de precisión.

Es el éxito de la matemática en describir efectivamente al universo el que ha hecho que muchos científicos piensen que así será siempre, hasta el punto de poderse desarrollar una teoría del todo. Sin embargo, aún no entendemos siquiera por qué la matemática es capaz de darnos tanta información sobre el universo, y mucho menos si algún día será incapaz de decirnos algo más de él. Si el momento llega en que la matemática se encuentre inefectiva ante los intentos de descripción y entendimiento de la naturaleza, probablemente será necesaria la invención de otra herramienta que nos permita entrar en el reino inaccesible para la matemática, una nueva herramienta que permita otro tipo de pensamiento abstracto y estructurado.

Como escribía Wittgenstein, nunca podremos conocer los límites del pensamiento, pues para dibujar ese límite tendríamos que ser capaces de pensar de ambos lados de ese límite, es decir, tendríamos que ser capaces de pensar en aquello que no puede ser pensado. Asimismo, nunca podremos decir con exactitud qué es lo que no podremos llegar a conocer, a pesar de los intentos de algunos por tratar de delimitar las fronteras de ese conocimiento. Sabemos que esas fronteras son generadas por nuestra biología y por las estructuras de pensamiento que muestras mentes puedan entender, desarrollar y manipular, así como por nuestra experiencia previa y nuestra imagen del mundo.

Comte escribió que “cualquier investigación que no pueda ser reducida a observación visual real es excluida cuando de estrellas se trata… Podemos ver la posibilidad de determinar sus formas, sus distancias, sus magnitudes y sus movimientos, pero es inconcebible que alguna vez seamos capaces de estudiar, por cualquier medio, su estructura química o mineral.” Y Comte estaba equivocado, por supuesto, como lo muestra el éxito de la amplia ciencia de la espectroscopía en estudiar la composición de las estrellas a partir de la luz que emiten.

Antes del advenimiento de la espectroscopía y de los conocimientos adquiridos del comportamiento cuántico de los átomos, pocos hubieran sospechado que la luz de una estrella posee información de su composición. Asimismo, otros fenómenos detectados por nuestros sentidos y por nuestros aparatos pueden poseer información que nos permita tener un mayor conocimiento de los fenómenos en sí, información que está allí pero que sin el desarrollo correcto de la ciencia y de sus estructuras de pensamiento, sería inaccesible.

La ciencia es progresiva e incompleta por naturaleza. Puede que algún día lo que pertenece al reino de la naturaleza sea inaccesible para nosotros y seamos incapaces de generar símbolos e imágenes dentro de nuestra idea del mundo que se correspondan con aquellas de la naturaleza.

Trabajando dentro de las estructuras de pensamiento de la ciencia, el humano ha diseñado aparatos que le permitan medir algo sin que en ello juegue algún papel la percepción humana. Los fotones se graban en la placa fotográfica, y pueden ser analizados posteriormente por una mente humana; la mente humana es inevitable para la interpretación de lo observado, pero no perturba en ese caso el mero acto de la detección de los fotones por la placa. Sin embargo las conclusiones últimas del comportamiento de la naturaleza no podrán ser desligadas de nuestra percepción e interpretación, de nuestra imagen del mundo.

Por esta razón, puede que podamos construir complejos artefactos que sean nuestros ojos al mundo, pero no es seguro que seamos capaces de darle una interpretación acertada a lo que los instrumentos capten, o siquiera de ser capaces de darle algún tipo de interpretación, de darle sentido a los resultados que obtengamos.

Puede que la línea de pensamiento que nos lleve a un tipo de conocimiento sea lo suficientemente complicada como para que una mente humana no sea capaz de seguirla, y que por tanto nuestro conocimiento permanezca incompleto al respecto. Pero este problema tal vez podría resumirse como un problema de memoria, de retener toda la información relevante en nuestro cerebro, en la memoria de trabajo, para poder usarla y sacar una conclusión. Pero es probable que este límite pueda ser capaz de ser solventado con la ayuda de herramientas que permitan recordar todo lo indispensable. Sin embargo, esas herramientas no serán perfectas y tendrán también sus propios límites.

Quizá exista algo que pueda ayudarnos en la formulación de una imagen más elaborada del mundo (a pesar del hecho de las limitaciones de nuestras herramientas actuales), y es el hecho de que la naturaleza humana, como sugieren muchos autores, no es para nada inmutable. Que aquello que nos define en esencia cambia de acuerdo a las condiciones en las que los humanos se desarrollan.

Una naturaleza humana mutable que influya en la forma de nuestro pensamiento, sumada a la plasticidad de nuestro limitado cerebro, podría permitirnos tener un flujo constante de estructuras de pensamiento que expandan y complementen nuestra imagen del mundo. Una estructura de pensamiento que llegue a su límite práctico podría ser sustituida por otra que ocupe su lugar como medio de figurarse al mundo.

De nuestros límites humanos y de los de nuestra empresa científica, sólo el futuro dirá, junto con el entendimiento de nuestra biología, el desarrollo de los lenguajes, las estructuras de pensamiento, y las posibles experiencias a las que tendrá acceso la mente humana, o la mente en general.

Microquasares en nuestra galaxia

Los microquasares son llamados así por su parecido morfológico y fenomenológico con los quasares, pero a escala menor. Para tener una idea de qué es un quasar, este tipo de objeto encontrado fuera de nuestra galaxia, podemos enlistar sus elementos básicos: un agujero negro supermasivo (de varios millones de masas solares) en rotación, un gran disco de acreción (unos 10^9 km, mil millones de kilómetros de radio) desde donde el agujero negro supermasivo traga materia, un medio que generalmente es una galaxia entera, y la emisión de un par de jets relativistas, es decir, que se mueven a una velocidad muy muy alta; los elementos que definen un microquasar: un agujero negro giratorio de unas pocas masas solares, un disco de acreción de unos 10^3 km, mil kilómetros, una estrella acompañante de la cual acreta materia, y la emisión de un par de jets relativistas (la presencia de jets relativistas, superlumínicos desde nuestro marco referencia, en ambos casos, es lo que refuerza y da soporte a la analogía entre quasares y estos objetos denominados microquasares).

Pero los microquasares, que pueden encontrarse dentro de nuestra propia galaxia, son compactos, respecto a los quasares, en otro sentido: la gran ventaja de estudiar los microquasares es que las escalas temporales de los fenómenos asociados con su variabilidad y la escala de emisión de energía pueden apreciarse en tiempos de minutos o días en vez de miles o millones de años, como pasa con los quasares, a la vez que permite aprender más de estos últimos. De allí la importancia de observar las variaciones en la emisión de rayos X de un microquasar, es como ver un quasar en miniatura y a tiempo acelerado.

Los jets emitidos viajan en direcciones contrarias, alejándose de la fuente y expandiéndose al mismo tiempo, a velocidades relativistas; por lo general uno se mueve hacia nuestro plano de visión, hacia la dirección del observador, ése parece ser más brillante; el otro, el que se mueve en la dirección contraria, alejándose del observador, resulta ser menos visible y parece moverse a una menor velocidad. Estas asimetrías son explicadas en términos de aberración de eyecciones antiparalelas de pares de nubes de plasma relativistas, expulsadas en cierto ángulo con respecto a la línea de observación. Esto último puede sonar muy complicado, pero básicamente se refiere a un efecto relativista simple, al que aplicamos algo de trigonometría (recordemos el trabajo de Einstein sobre los cuerpos que se mueven a una velocidad cercana a la de la luz).

Uno de los puntos básicos a estudiar sobre los quasares es cómo los jets relativistas son generados. Se sabe que la emisión de un par de jets relativistas colimados, es decir, no dispersos sino en forma de haz, va precedida de una actividad inusual en la emisión de rayos X; sin embargo, una inusual actividad en este espectro no significa la emisión de un par de jets colimados o, en general, eventos de eyección.

El plasma magnetizado, ya sea a los alrededores de un agujero negro asociado a un quasar o un microquasar, debe de jugar un papel importante en que los jets alcancen velocidades relativistas, aunado a la energía de rotación del agujero negro, de acuerdo a su spin (su giro), pues hay razones para pensar que la eyección relativista de jets tendrá lugar preferentemente cuando el spin del agujero negro esté cercano a su valor máximo.

A veces son observadas oscilaciones cuasiperiódicas de cierta frecuencia en las emisiones de rayos X. Estas oscilaciones, se cree, están relacionadas con propiedades como la masa del agujero negro y su spin, o a la última órbita circular alrededor del agujero negro. Estudiar los microquasares que presenten estas frecuencias características puede ser importante para estimar el spin de un agujero negro.

La actividad de un microquasar puede derivarse a partir de la información que aportan tres principales fuentes de observación: la variación de la intensidad de la emisión en el espectro infrarrojo, en rayos X y en radio.

Los jets son expulsados como pequeñas nubes. Mientras las nubes eyectadas (algunas con velocidades de hasta 0.997c, donde c es la velocidad de la luz) se expanden, se vuelven transparentes a las ondas radio (esto quiere decir que las ondas no son absorbidas y pueden ser emitidas), por lo que su señal observada aumentará en este intervalo de frecuencias después de la eyección.

Las variaciones de gran amplitud en el flujo de rayos X en tiempos que van desde segundos a minutos y, particularmente, las caídas abruptas de la emisión pueden ser explicadas por la presencia de un agujero negro central. Cuando esto se observa, significa que el tiempo en el que la energía es transferida desde los iones del plasma hacia los electrones libres es más largo que el tiempo en el que el plasma cae al objeto compacto (trátese de un agujero negro, estrella de neutrones, etc.). Esto significa que hay una cierta cantidad de energía que es acumulada, no radiada, en el gas, como energía térmica.

Si el objeto compacto es un agujero negro, la energía térmica acumulada en el gas desaparece al cruzar el horizonte de sucesos; si se trata de una estrella de neutrones, esta energía es liberada como radiación al chocar con la superficie, más dura que la roca, de la estrella de neutrones, calentándola, por lo que la estrella se mantendrá caliente por las colisiones y su tiempo de enfriamiento será relativamente largo. En ambos casos también hay una variación en la radiación X observada.

Esta información, que nos llega a partir de las observaciones en rayos X, infrarrojos y radio, nos muestra que la eyección de nubes de plasma relativistas ocurre cuando la materia del disco de acreción interna cruza y desaparece en el horizonte de sucesos del agujero negro.

Entonces, el estudio, relativamente accesible, de los microquasares, puede dar mucha información acerca de otros fenómenos en los que la acreción de materia por parte de un agujero negro y la eyección de jets relativistas sean los puntos principales, como ocurre con los quasares, objetos para los que una o varias vidas humanas no bastarían para estudiarlos, a diferencia de los más accesibles microquasares.

Cientos de miles de trillones; una hipótesis y un número: el de Avogadro

El siguiente texto lo escribí como una tarea para mi clase de Introducción a la Física Cuántica.

   El el año de 1808 el francés Joseph-Louis Gay-Lussac publicó su ley de combinación de volúmenes de gases ideales1 (ver nota al pie). Para esto, el científico francés se había dado cuenta de los gases se mezclaban en proporciones específicas para formar compuestos durante una reacción química; si un gas dado se combina con otro, digamos, en una proporción 2:1, y si cualquiera de los gases estuviese en una proporción distinta, y luego sobreviene la reacción química que los une, entonces quedará un excedente sin reaccionar del gas del que había un volumen mayor al que dicta la proporción. Esta ley, observó Lussac, se respetaba a presión y temperatura constantes, condiciones que en adelante llamaremos PT estándares. 

   Una de las cosas que observó Lussac fue que “un volumen” dado de gas oxígeno se combinaba con “dos volúmenes” de gas hidrógeno para formar “dos volúmenes” de vapor de agua. 

   Tres años después el italiano Amadeo Avogadro se inspiró en el resultado anterior para decir que volúmenes iguales de gas, bajo PT estándares, contenían la misma cantidad de moléculas. Además de esto, Avogadro propuso que los gases de hidrógeno, oxígeno y nitrógeno estaban formados por moléculas diatómicas. Ahora, si iguales volúmenes contienen igual número de partículas entonces esos “dos volúmenes” de gas hidrógeno que observó Lussac contienen el doble de moléculas que el volumen de gas oxígeno, por lo cual el hidrógeno se combina con el oxígeno en proporción 2:1 para formar agua. Por tanto, una molécula de agua está formada por dos átomos de oxígeno y dos de hidrógeno, H2O, distinto a lo que anteriormente había dicho John Dalton, quien pensaba que la molécula de agua era HO, pues nunca concibió la existencia de moléculas de un solo elemento, como las diatómicas de las que habló Avogadro: moléculas del tipo N2, la molécula de nitrógeno, u O2, de oxígeno. La teoría de Dalton en ese entonces y por algunas décadas más sería aceptada de manera generalizada y ése fue un argumento de la sociedad científica en contra del  italiano Avogadro. Como en ese entonces solían usarse indistintamente los términos molécula y átomo, no pocos científicos pensaron que Avogadro hacía referencia a medios átomos (cosa que les parecía espantosa pues la misma palabra átomo significa indivisible), cuando lo que estaba diciendo realmente era que las moléculas diatómicas se dividían. En parte por esta confusión, la afirmación de Avogadro fue tomada a menos, pues no tenía pruebas que sustentaran su veredicto, porque decirlo no era suficiente, nunca es suficiente cuando se afirma algo, el método científico no funciona así, además de que ante la comunidad científica Avogadro nunca se caracterizó como un experimental competente ni brillante. 

   Cabe destacar que el francés André-Marie Ampère, tres años después de la hipótesis de Avogadro, publicó un trabajo, una mezcla de filosofía kantiana e investigación empírica acerca de cómo se combinan los gases, donde llega, independientemente, al mismo resultado que Avogadro había propuesto, pero por la misma razón por la que el científico italiano fue despreciado, éste último también lo fue. 

   ¿Qué implicaciones tendría lo que Avogadro hipotetizó? Una propuesta científica sólo tiene trascendencia si logra explicar fenómenos observables y si predice aquellos que aún no se han visto. ¿Si Avogadro se refiere a “el mismo número de moléculas en un mismo volumen”, de que número en específico está hablando? Avogadro nunca dijo nada acerca de ese número. Veamos. 

   Durante la década de 1850 se llegó a un punto de acumulación en cuanto a las dudas que surgían de la teoría atómica: había serios problemas para determinar los pesos atómicos de los elementos, y eso complicaba el hacer una teoría sobre las combinaciones de estos. ¿Cómo hacer química, tanto teórica como experimental, si no se sabía algo tan elemental como los pesos de los elementos? 

   En 1860 el alemán Friedrich August Kelulé, conocido por sus útiles representaciones esquemáticas de las moléculas, sugirió una conferencia para abordar el tema, para discutir sobre lo que se podía hacer para combatir este problema de los pesos atómicos; la conferencia, que se celebró del 3 al 5 de septiembre en Karlsruhe, Alemania, fue de importancia histórica pues fue la primera reunión internacional de científicos, que reunió a 140 de ellos. Allí, Stanislao Cannizzaro explicó la importancia de la aportación de su compatriota Avogadro y por qué se le debía de tomar en serio, expuso el hecho de que la ignorada hipótesis podía usarse para determinar el peso molecular de varios gases. (Dos años antes, Cannizzaro había insistido en la diferencia que había hecho notar Avogadro entre pesos atómicos y pesos moleculares.) Durante la conferencia no hubieron conclusiones pero algo comenzó a germinar en las mentes de los presentes. Allí se encontraban J. Lothar Meyer y Dimitri Mendeleiev, quienes, influidos por lo que había anunciado Cannizzaro, trabajaron en sus propias versiones de la Tabla Periódica de los Elementos y calcularon los pesos atómicos en base a la hipótesis de Avogadro. A partir de entonces la comunidad científica focalizó su atención en el trabajo del científico italiano, pero aún con mucho escepticismo y negación. Desafortunadamente, para el día de ésta conferencia, Avogadro hacía 4 años que había muerto. 

   Cuando la comunidad científica internacional comenzó a prestar atención a la hipótesis de Avogadro era evidente que aquello de “el mismo número de moléculas en un mismo volumen” debía ser investigado a mayor profundidad; la hipótesis de Avogadro explicaba muchas cosas y resultaba bastante útil, por tanto había que conocer ese número que resultaba tan importante para la hipótesis. 

   El 1865 el austriaco Johann Joseph Loschmidt tomó algunos trabajos anteriores de Maxwell y de Clausius y comenzó a hacer cálculos a partir de ello. Los temas que Maxwell y Clausius habían desarrollado tenían que ver con la difusión de los gases y sus viscosidades, el “volumen de la esfera de influencia de una molécula” que tiene que ver con el tamaño de la molécula y con el free path2, etc. Loschmidt llegó a una expresión que mostraba el diámetro de las partículas de un gas y, usando esta expresión, llegó a otra que indicaba el número de partículas de un gas en un volumen dado. El científico austriaco se había interesado principalmente por determinar el tamaño de las moléculas del aire, otras interrogantes tenían menor importancia que ésa para él. Loschmidt mencionó brevemente en la preimpresión de su paper que un milímetro cúbico de aire contiene 866 billones de moléculas. En esta preimpresión el científico no sustenta lo que afirma aunque lo hace posteriormente en el paper como tal, donde también estima diversas masas atómicas. Con aquéllos cálculos, el austriaco estimó el diámetro de las “moléculas de aire” en 1 nanómetro, lo que difiere de lo que sabemos actualmente: aproximadamente 0.3 nanómetros; éste error lo cometió básicamente por lo que él sabía sobre el free path de las partículas. Loschmidt tomó el valor del free path como de 140 nanómetros (en PT estándares) cuando el valor que conocemos actualmente es de 60 nanómetros. 866 billones de moléculas por milímetro cúbico hace que el número de moléculas por mol3 sea de 2×10^22, que, como podemos ver si nos adelantamos hasta el presente, representa algo así como 1/30 del valor del número de Avogadro4. El número que Loschmidt obtuvo, 866 billones por milímetro cúbico, o lo que es lo mismo: 8.66×10^23 m^−3, fue aproximado a lo largo del tiempo y se le dio el nombre de Constante de Loschmidt, cuyo valor actual es de 2.6867774×10^25 m^−3. Este resultado fue muy importante, y aunque se trató de una deducción lógica del trabajo de Maxwell y de Clausius, representó la primera estimación de la densidad numérica de partículas en un gas y del tamaño de las mismas. 

   Luego de esto, haciendo consideraciones similares, el mismo Maxwell, en base a sus propios trabajos, calculó un nuevo valor: 4.2×10^23 partículas por mol, muy cercano al que actualmente conocemos. 

   El 1908, el francés Jean Baptiste Perrin consideró una columna vertical de partículas que presentan movimiento browniano5, sujetas a la gravedad terrestre. En base a esto y tras ciertas consideraciones, el valor que obtuvo para la constante de Avogadro fue de 7.05×10^23 partículas por mol. Una nueva idea había aproximado mucho mejor que nunca antes este número tan buscado. Cabe notar que, para esto, Perrin se basó principalmente en los trabajos de Albert Einstein. 

   Pero Perrin no se detuvo aquí: su gran logro fue calcular el número de Avogadro en más de una forma. Con vapor de mercurio y apoyándose en la teoría de los gases conocida hasta el momento concluyó que el número de partículas por mol era de 6.2×10^23. Perrin mencionó, con modestia y admiración: “Este número constante, N, es una constante universal que debe, con justificación, ser llamada la constante de Avogadro”. 

   Para este momento en la historia la constante de Avogadro era casi tal como la conocemos ahora, aunque las aproximaciones a su valor actual siguieron llegando de otros campos de la física. Cuanto más aproximada estaba ésta constante más confiable resultaba la teoría que describía.

   La siguiente colaboración al cálculo de este número llegó desde la electricidad. Millikan fue el primero en medir con gran exactitud la carga del electrón, e, y para 1917 los resultados mostraban que tal carga era de 1.591×10^−19 Coulombs. Gracias al trabajo de Millikan se llegó a otra constante importante: la constante de Faraday, F, que representa la carga eléctrica de un mol de electrones. Y entonces vemos claramente la conexión: dado que F nos dice la carga eléctrica de un número de electrones igual a un mol, y conocemos el valor de e, si hacemos la división F/e tendremos el número de electrones en un mol, lo que será con toda seguridad la constante de Avogadro. El resultado de esta división da 6.064×10^23 electrones por mol. ¡Más cerca aún! 

   En la determinación de esta constante con el paso del tiempo también ha entrado en juego la constante de Plank. En un método similar al descrito anteriormente, la constante de Avogadro también puede ser calculada dividiendo la masa de un mol de electrones entre la masa del electrón. Para conocer la masa de un mol de electrones puede usarse un artefacto de confinamiento magnético llamado Trampa de Penning, y es en el cálculo subyacente donde la constante de Plank entra. 

   Podemos mencionar otras formas que se han ideado para calcular la constante de Avogadro, pero todas serán por lo general, aunque ideas nuevas e interesantes, sólo un perfeccionamiento de la medida con anterioridad. La constante aproximada que actualmente se usa es de 6.02214129×10^23 mol^−1. Este número es gigantesco: en un mol de cualquier sustancia encontramos cientos de miles de trillones de partículas. 

   Si la naturaleza fuese continua, se podría hacer como con los números reales: el número buscado podría aproximarse ad infinitum y al final a lo que esta aproximación convergería sería al valor real de la constante. Pero, físicamente, aunque la naturaleza no es continua, también nos estamos refiriendo a una constante, a un número. El número de Avogadro. 

   Para darse una idea de qué tan grande es este número, piensen en lo siguiente: imaginen una llave que no ha sido cerrada correctamente, por tanto estará goteando. Supongamos, haciendo una estimación racional, como habrá notado cualquiera que haya visto una llave gotear, que cada gota que cae tiene un volumen de un cuarto de mililitro, un cuarto de centímetro cúbico. Ahora, un número de gotas de agua igual al número de Avogadro, 6.02214129×10^23, representarán un volumen de 150,553,532.3 kilómetros cúbicos, o, (redondeando) 1.5×10^10 km^3. El volumen total de los océanos de la Tierra se ha calculado en 1.37×10^9 km^3, por lo que nuestra llave que gotea un “mol de gotitas de agua” dejará salir un volumen algo más de diez veces mayor al de toda el agua oceánica del planeta. 

   Ya hemos visto que el número de Avogadro nos dice la cantidad de partículas que hay en una cantidad dada de alguna sustancia, por lo tanto si esta sustancia reacciona con otra nos interesa saber de qué forma reacciona. Supongamos que queremos producir una tonelada de sulfato de cobre porque lo venderemos a los agricultores locales para que fertilicen sus tierras, entonces necesitamos saber qué tanto azufre y qué tanto cobre usaremos en la reacción para producir el sulfato. Sin el conocimiento del número de átomos o moléculas que hay en una sustancia no podríamos hacerlo, no sabríamos cuánto mezclar de cada cosa. 

   El número de Avogadro es necesario para entender todos los procesos donde intervienen reacciones entre átomos, reacciones entre moléculas, y, como una de las constantes fundamentales de nuestro universo, vale la pena conocerlo.

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1. Con gas ideal debe de entenderse el gas hipotético compuesto por partículas puntuales que no interaccionan entre sí, pero que a condiciones estándares de presión y temperatura (la IUPAC establece que tales condiciones deben tomarse como 0 °C y 100 kPa, aunque por lo general se toma como 1 atmósfera de presión) el comportamiento de un gas cualquiera es muy cercano al de un gas ideal.

2. El free path se define como la media distancia estadística que recorre una partícula mientras colisiona con otras partículas. Una partícula entre un conjunto de partículas, digamos dentro de un gas, avanzará cierta distancia para luego colisionar con otra partícula del gas, ésta colisión desviará su trayectoria y recorrerá otra cierta distancia hasta toparse con la siguiente. El promedio de esas distancias entre colisiones es el free path.

3. Un mol de una sustancia es aquella cantidad en gramos que es igual al peso molecular de la sustancia que se trate. Por ejemplo, una molécula de agua, H2O, está formada por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno; el peso atómico del hidrógeno es 1 (pues el núcleo de hidrógeno está conformado por un protón), pero tenemos dos hidrógenos, y el del oxígeno es 16 (en su núcleo hay 8 neutrones y 8 protones, que sumados dan 16), por lo que el peso molecular del agua es de 18, (16 + 2), y consecuentemente un mol de agua son 18 gramos de la misma. El mol también se define como aquella cantidad de una sustancia que contiene un número de partículas igual al número de Avogadro. 

4. Hay que notar la diferencia entre el número de Avogadro y la constante de Loschmidt: el primero hace referencia a la cantidad de partículas por mol y el segundo a las partículas por unidad de volumen. Aunque, erróneamente, en la literatura a veces suelen citarse como si fueran lo mismo. 

5. El movimiento browniano es el movimiento aleatorio de pequeñas partículas (microscópicas) que se hayan en un fluido. Fue descubierto en 1827 por Robert Brown cuando observó las extrañas oscilaciones de granos de polen. (Ahora, piense en una gota de tinta que se deja caer en un recipiente con agua y en como se extiende por todo el líquido.) La difusión de la tinta en el agua, por ejemplo, es consecuencia de este movimiento. La causa de éste movimiento fue explicada por Albert Einstein en 1905.

El valor de la Ciencia. Richard Feynman

Richard P. Feynman

Richard Phillips Feynman es una de las personas que más me inspiran en avanzar en esto que en parte estoy haciendo de mi vida: mi aprendizaje en Física, y en lo que hasta el momento no voy en la dirección que me gustaría, pero no por ello me desanimo. Más allá de ganar el Nobel por sus trabajos en cromodinámica cuántica, lo que más destaca para mí de Feynman es que siempre iba tras explicaciones sencillas para explicar procesos complejos, y que su visión de la Ciencia era tan especial que no me queda duda de que disfrutar del universo y tratar de entenderlo es lo mínimo que puedo hacer.

Hace unos meses leí ¿Qué te importa lo que piensen los demás?, y fue cuando empecé a conocer a este hombre. Bueno, ya lo conocía desde antes, pues en la biblioteca de mi facultad se encuentran las Feynman Lectures on Physics (basadas en un curso que dio en el Caltech) y dos volúmenes de Physics, que algunas veces he consultado. Actualmente leo ¡Ojalá lo supiera!, una recopilación de muchas cartas que escribió y que recibió, muy conmovedoras algunas.

Quiero transcribir aquí íntegro un escrito suyo titulado El valor de la Ciencia. Espero que lo disfruten. Comienza diciendo Feynman:

   Cuando era más joven estaba convencido de que la ciencia haría cosas buenas para todos. Era evidentemente buena. Durante la guerra trabajé en la bomba atómica. Este resultado de la ciencia era evidentemente un asunto muy serio: representaba la destrucción de seres humanos.

   Después de la guerra estuve sumamente preocupado por la bomba. No sabía qué aspecto iba a ofrecer el futuro, y ciertamente no tenía la menor seguridad de fuéramos a durar hasta hoy. Había pues una cuestión ¿lleva la ciencia algo malo consigo?

   Dicho de otro modo, ¿qué valor tiene la ciencia a la que me había consagrado —lo que yo amaba—, después de ver las cosas tan terribles que podía hacer? Era una cuestión a la que yo tenía que dar respuesta.

   «El valor de la ciencia» es, si se quiere, una especie de informe de los muchos pensamientos que me sobrevinieron al tratar de responder a esa cuestión.

EL VALOR DE LA CIENCIA

   De cuando en cuando hay quien me sugiere que los científicos deberían prestar mayor consideración a los problemas sociales; en especial, que tendrían que ser más responsables al considerar el impacto de la ciencia en la sociedad. Parece ser opinión general que si los científicos se tomasen la molestia de prestar atención a estos problemas sociales tan difíciles y no se pasaran tanto tiempo tonteando con problemas científicos menos vitales, se obtendrían grandes éxitos.

   Tengo la impresión de que nosotros sí reflexionamos en tales problemas de cuando en cuando, pero que no les dedicamos la totalidad de nuestros esfuerzos, por la razón, entre otras, de que no tenemos ninguna fórmula mágica para resolver problemas sociales, de que los problemas sociales son mucho más difíciles que los científicos, y de que normalmente no llegamos a nada cuando reflexionamos en ellos.

   Estoy convencido de que cuando un científico examina problemas no científicos puede ser tan listo o tan tonto como cualquier prójimo, y de que cuando habla de un asunto no científico, puede sonar igual de ingenuo que cualquier persona no impuesta en la materia. Dado que la cuestión del valor de la ciencia no es una cuestión científica, esta charla estará dedicada a demostrar la tesis que acabo de exponer... predicando con el ejemplo.

   A todo el mundo le es familiar la primera de las formas en que la ciencia es valiosa, a saber, que el conocimiento científico nos permite hacer toda clase de cosas y construir toda clase de cosas. Evidentemente, si hacemos cosas buenas, ello no solamente habrá de acreditarse en la cuenta de la ciencia; el mérito será igualmente de la elección moral que nos llevó a hacer obras buenas. El conocimiento científico confiere un poder que nos capacita para obrar bien o mal, pero no lleva instrucciones acerca de cómo utilizarlo. Tal poder tiene un valor evidente —incluso aunque tal poder pueda ser negado por lo que uno hace con él.

   Supe de una forma de expresar este problema humano tan común durante un viaje a Honolulú. En un templo budista de allá, el encargado les explicó a los turistas un poquito de la religión budista, y después acabó su charla afirmando que tenía que decirles algo que no olvidarían jamás —y que yo jamás he olvidado. Era un proverbio de la religión budista:

A cada hombre se le da la llave de las puertas del cielo; esa misma llave abre las puertas del infierno.

   ¿Qué valor tiene, pues, la llave de las puertas del cielo? cierto es que si carecemos de instrucciones claras que nos permitan determinar cuál es la puerta que da al cielo, y cuál al infierno, la llave puede ser un objeto peligroso de utilizar.

   Pero es evidente que la llave tiene un valor: ¿cómo podremos entrar en el cielo si carecemos de ella?

   Las instrucciones de uso carecerían de valor si no poseemos la llave. Es evidente, pues, que a pesar de que puede producir enormes horrores en el mundo, la ciencia tiene valor, porque puede producir algo.

   Otro de los valores de la ciencia es el disfrute —el llamado gozo intelectual— que algunas personas sienten al leer y reflexionar en ella, o que experimentan al trabajar en ella. Es éste un aspecto importante, un aspecto, que no es suficientemente considerado por quienes nos dicen que es responsabilidad nuestra reflexionar sobre el impacto de la ciencia en la sociedad.

   ¿Tiene este disfrute personal algún valor para la sociedad en su conjunto? ¡No! Pero es también una responsabilidad considerar el papel de la sociedad propiamente dicha. ¿Será este papel organizar las cosas de modo que los individuos puedan disfrutar de ellas? En tal caso, gozar de la ciencia es tan importante como cualquier otra cosa.

   No quisiera, empero, subestimar el valor de la concepción del mundo resultante del esfuerzo científico. Hemos sido llevados a imaginar toda suerte de cosas infinitamente más maravillosas que las visiones de los poetas y soñadores del pasado. Muestra que la imaginación de la naturaleza es mucho, muchísimo mayor que la imaginación del hombre. Por ejemplo, ¡cuánto más notable es que todos nos hallemos sujetos —la mitad de nosotros, cabeza abajo— por una misteriosa atracción a una bola que gira sobre sí misma; a una bola que ha estado rodando por el espacio durante miles de millones de años, que la metáfora de que somos llevados a lomos de un elefante sostenido por una tortuga que nada en un mar sin fondo!

   Han sido tantas las veces que he pensado estas cosas en solitario, que confío en ser disculpado si les recuerdo este tipo de pensamiento, que estoy seguro que tantos de ustedes han tenido, más que nadie podría haber tenido en el pasado, porque no se tenía entonces la información que hoy tenemos sobre el mundo.

   Por ejemplo, estoy solo, a la orilla del mar, y empiezo a pensar.

He ahí las olas presurosas

montañas de moléculas

cada una, estúpidamente ocupada en lo suyo,

separadas por trillones

y empero,

formando al unísono la blanca espuma.

Edades sobre edades,

antes que ojo alguno pudiera ver;

año tras año

golpeando atronadoras en la playa, como ahora.

¿Para quién? ¿Para qué?

En un planeta muerto

sin vida que entretener.

Jamás en reposo

torturadas por la energía

prodigiosamente derrochada por el Sol

a raudales vertida en el espacio.

Una pizca hace rugir al mar.

En lo profundo del mar

unas de otras

repiten las moléculas las pautas todas

hasta formar otras nuevas y más complejas.

Crean otras a ellas semejantes

y da comienzo así una nueva danza.

Y al creer en tamaño y complejidad

seres vivos

masas de átomos

ADN, proteínas

que trazan una danza aún más intrincada

Salimos de la cuna,

pisando tierra firme

helos aquí plantados y erectos:

átomos provistos de consciencia;

materia dotada de curiosidad.

Plantado frente al mar

se pregunta por qué se pregunta: Yo

un universo de átomos

un átomo en el universo.

   La misma emoción, el mismo respetuoso temor, el mismo misterio vuelve a aparecer una y otra vez cuando miramos algo con suficiente profundidad. Y con el mayor conocimiento llega un misterio más profundo y maravilloso, que nos incita a penetrar en él más hondamente todavía. Sin sentir jamás el temor de que la respuesta puede resultar decepcionante, con placer y confianza damos la vuelta a cada nueva piedra que nos encontramos, descubriendo lo inimaginadamente extraño, que conduce a más maravillosas cuestiones y misterios —¡una gran aventura, ciertamente!

   Es cierto que son pocas las personas no científicas que experimentan este tipo particular de experiencia religiosa. Nuestros poetas no escriben sobre ella; nuestros pintores no tratan de plasmar esta cosa tan notable. No sé por qué. ¿Acaso a ninguno inspirará la imagen que del universo hoy tenemos? Este valor de la ciencia sigue sin ser cantado por los poetas; uno se ve reducido no a escuchar una canción o un poema, sino una lección vespertina sobre ella. Todavía no es la nuestra una edad científica .

   Tal vez una de las razones de este silencio sea que es preciso saber leer su música. Por ejemplo, el artículo científico puede decir, «El contenido de fósforo radiactivo del cerebro de la rata decrece a la mitad en un periodo de dos semanas». Ahora bien, ¿qué significa tal cosa?

Significa que el fósforo que hay en el cerebro de la rata —y también en mi cerebro, y en el suyo— no es el mismo fósforo que había en él hace dos semanas. Significa que los átomos del cerebro están siendo reemplazados: los que antes se encontraban allí se han ido.

   Observar que eso que yo llamo mi individualidad es tan sólo una configuración, una danza; eso es lo que lo significa el descubrimiento de lo que tardan los átomos del cerebro en ser reemplazados por otros átomos. Los átomos llegan a mi cerebro, danzan en él su danza y después se van —hay siempre nuevos átomos, pero danzan siempre la misma danza, recordando cómo era la danza de ayer.

   Cuando leemos algo sobre este asunto en el periódico, dice: «Los científicos afirman que este descubrimiento puede ser un hito importante en la curación del cáncer.» Al periódico tan sólo le interesa la utilidad de la idea, no la idea en sí misma. A duras penas puede nadie comprender la importancia de una idea, tan notable es. Salvo que, posiblemente, algunos niños puedan captarla. Y cuando un niño capta una idea como ésa, tenemos un científico. Ya es para ellos demasiado tarde captar ese espíritu cuando se encuentran en nuestras universidades; debemos pues explicar estas ideas a los niños.

   Quisiera dirigir ahora mi atención a un tercer valor que tiene la ciencia. Es un poco menos directo, pero no mucho. El científico tiene una amplísima experiencia de ignorancia, de duda, de incertidumbre, y en mi opinión, tal experiencia de ignorancia, de duda, de incertidumbre, y en mi opinión, tal experiencia es de la mayor importancia. Cuando un científico desconoce la solución de un problema, es ignorante. Cuando tiene una corazonada sobre cuál va a ser el resultado, siente incertidumbre. Y aún cuando esté francamente seguro de cuál va a ser el resultado, todavía le queda alguna duda. Hemos descubierto que para poder progresar es de fundamental importancia saber reconocer nuestra ignorancia y dejar lugar a la duda. El conocimiento científico es un cuerpo de enunciados que tiene diversos grados de certidumbre. Algunos son sumamente inseguros, algunos casi seguros, pero ninguno es absolutamente cierto.

   Ahora bien, nosotros los científicos estamos habituados a ello, y damos por hecho que es perfectamente consistente tener inseguridad, que es posible vivir y no saber. Aunque no sé si todos se dan cuenta de que esto que digo es cierto. Nuestra libertad de dudar nació de una lucha contra la autoridad en los primeros tiempos de la ciencia. Fue una lucha muy profunda y vigorosa: se nos ha permitido cuestionar, dudar, no estar seguros. Me parece importante que no olvidemos esta lucha y perder quizás lo que hemos ganado. He aquí una responsabilidad social.

   Nos entristecemos cuando pensamos en las maravillosas potencialidades que los seres humanos parecen tener y las contrastamos con lo diminuto de sus logros. Una y otra vez se ha pensado que podríamos hacerlo mucho mejor. Quienes vivieron tiempos pasados vieron en la pesadilla de sus tiempos un sueño para el futuro . Nosotros, que estamos en su futuro, vemos que sus sueños, rebasados en ciertos aspectos, siguen siendo sueños en muchísimos otros. Las esperanzas para el futuro siguen siendo hoy, en buena parte, las mismas de ayer.

   Se pensó en cierta ocasión que las posibilidades que tenían las personas no se habían desarrollado debido a la ignorancia. Con educación universal, ¿podrían todos los hombres ser Voltaire? Lo malo puede ser enseñado por lo menos tan eficientemente como lo bueno. La enseñanza es una fuerza muy poderosa, pero lo es tanto para lo bueno como para lo malo.

   La comunicación entre las naciones habría de facilitar su entendimiento —así rezaba otro sueño. Pero las máquinas de comunicación pueden ser manipuladas. Lo que se comunica puede ser verdad o mentira. La comunicación es una fuerza poderosa, pero tanto lo es para lo bueno como para lo malo.

   Las ciencias aplicadas deberían liberar al hombre de los problemas materiales, cuando menos. La medicina controla la enfermedad. Y aquí el registro parece ser enteramente para lo bueno. Empero, no faltan quienes trabajan pacientemente para crear grandes plagas y venenos, a utilizar en la guerra del mañana.

   A casi nadie le gusta la guerra. Nuestro sueño de hoy es la paz. En la paz es donde el hombre puede desarrollar mejor las enormes potencialidades que al parecer tiene. Pero tal vez los hombres del futuro encuentren que también la paz puede ser buena y mala. Tal vez los hombres pacíficos se entreguen a la bebida, por aburrimiento. Tal vez entonces la bebida se convierta en el gran problema que parezca impedir al hombre lograr de sus facultades tanto como éste cree que debería.

   Como es obvio, la paz es una gran fuerza, como lo son la sobriedad, el poder material, la comunicación, la educación, la honestidad y los ideales de muchos soñadores. Tenemos más de esas fuerzas a controlar que los antiguos. Y tal vez estemos haciéndolo un poco mejor de lo que la mayoría de ellos podían. Pero lo que deberíamos poder hacer se nos antoja gigantesco en comparación con lo confuso de nuestros logros.

   ¿Por qué es esto? ¿Por qué no podemos conquistarnos a nosotros mismos?

   Porque nos encontramos con que incluso las grandes fuerzas y facultades no parecen ir provistas de instrucciones claras sobre cómo utilizarlas. Por ejemplo, la gran comprensión acumulada en lo atinente al mundo físico solamente nos convence de que tal conducta parece tener una especie de sinsentido. Las ciencias no enseñan directamente lo bueno y lo malo.

   A través de todas las edades pasadas, la humanidad ha tratado de sondear el significado de la vida. Ha comprendido que de poder conferir a nuestras acciones alguna dirección o significado, se desencadenarían grandes fuerzas humanas. Y en consecuencia, muchísimas han sido las respuestas que se han dado al problema del significado de todo. Pero las respuestas han sido de toda clase de suertes, y los proponentes de una respuesta han contemplado con horror las acciones de los creyentes en otras; con horror, porque a resultas de una discordancia en el punto de vista todas las grandes potencialidades de la raza quedan canalizadas y confinadas en un callejón falso y sin salida. De hecho, ha sido a partir de la historia de las enormes monstruosidades creadas por las falsas creencias como los filósofos han comprendido las infinitas y maravillosas capacidades de los humanos. El sueño consiste ahora en descubrir el canal abierto.

   ¿Cuál es, entonces, el significado de todo ello? ¿Qué podemos decir para desvelar el misterio de la existencia?

   Si tomamos todo en cuenta —no solamente lo que sabían los antiguos, sino todo lo que hoy sabemos que no conocían— me parece entonces que hemos de admitir francamente que no lo sabemos.

   Pero hacer tal admisión, probablemente hayamos encontrado el canal abierto.

   No es ésta una idea nueva; ésta es la idea de la era de la razón. Tal era la idea que guió a los hombres que crearon la democracia bajo la que hoy vivimos. La idea de que nadie sabía verdaderamente cómo se dirige un gobierno condujo a la idea de que se debería establecer un sistema mediante el cual las ideas nuevas pudieran ser desarrolladas, ensayadas y arrojadas por la borda en caso necesario; un sistema que permitiera introducir todavía más ideas nuevas; un sistema, en definitiva, basado en tanteos, en el ensayo y el error. Tal método sobrevino a resultas de que a fines del siglo XVIII la ciencia estaba empezando ya a mostrar que era empresa venturosa. Incluso en aquella época, a quienes reflexionaban en los fenómenos sociales le resultaba obvio que la apertura de posibilidades era una oportunidad que la duda y la discusión eran esenciales para progresar y penetrar en lo desconocido. Si queremos resolver un problema jamás resuelto anteriormente, tenemos que dejar entreabierta la puerta a lo desconocido.

   Nos encontramos en los comienzos mismos de la era de la raza humana. No es irrazonable que tengamos o que tropecemos con problemas. Pero hay decenas de miles de años en el futuro. Es responsabilidad nuestra hacer lo que podamos, aprender lo que podamos, mejorar las soluciones, y transmitirlas a nuestros sucesores. Es responsabilidad nuestra dejar las manos libres a las gentes futuras. Hallándonos como estamos en la impetuosa juventud de la Humanidad, podemos cometer graves errores que paralicen nuestro crecimiento durante largo tiempo. Y así sucederá si afirmamos tener y a las respuestas, cuando tan grande es nuestra juventud y nuestra ignorancia. Si suprimimos toda discusión, toda crítica, proclamando, «¡He aquí la respuesta, amigos míos; el Hombre está salvado!» condenaremos durante largo tiempo a la Humanidad, la encadenaremos a la autoridad, la confinaremos a los límites de nuestra imaginación presente. Ya se ha hecho antes muchas veces.

   Es responsabilidad nuestra como científicos, sabedores del gran progreso que emana de una satisfactoria filosofía de la ignorancia, del gran progreso que es fruto de la libertad de pensamiento, proclamar el valor de esta libertad; enseñar que la duda no ha de ser temida, sino bienvenida y discutida, y exigir esta libertad como deber nuestro hacia todas las generaciones venideras. 

Richard P. Feynman

Mr Angry and Mrs Calm

Últimamente ando un poco ocupado en otras cosas, y en estos días andaré algo ausente de Internet, pero encontré esto, que me pareció muy curioso, y lo quería compartir con ustedes.


Aude Oliva ha hecho trabajos muy curiosos relacionados con ilusiones. Ella es investigadora del MIT. La siguiente es una imagen híbrida que la doctora ha diseñado. La imagen izquierda muestra a un hombre enojado y la de la derecha a una mujer con el rostro tranquilo. Pero aléjense unos metros de la imagen (o disminuyan el tamaño de la imagen) y las cosas cambiarán. Esta ilusión me ha parecido grandiosa.

La siguiente ilusión es similar y también depende de la distancia desde la cual la estemos mirando. De cerca es una bicicleta pero las sombras son intencionadas para formar otra imagen.

En la siguiente, las expresiones de las mujeres cambian si alejamos la imagen.

Me parece grandioso como con la distancia las imágenes parecen modificarse. En esta página pueden ver más de su trabajo, incluidos algunos videos (hay uno en el que Albert Einstein se convierte en Marilyn Monroe). Aquí también encontrarán información relacionada con la doctora Oliva.

Insignificantes, seres insignificantes

No tiene por qué ser deprimente. No somos tan grandes en tamaño como las estrellas pero podemos amar, ser felices con las personas a quienes queremos. Notar que realmente somos insignificantes en este universo no tiene por qué ser triste, lo verdaderamente triste sería no dar de nosotros mismos a los demás, no ser sinceros con nosotros mismos y con los demás, no dar cuando verdaderamente alguien lo necesita, no maravillarse con nuestra propia pequeñez, la que nos hace aspirar a ser grandes, no como una hipergigante roja sino como humanos capaces de grandes y hermosas cosas.

Las simetrías del universo

Es una entrevista que Eduardo Punset, del programa Redes de RTVE, le hizo al matemático Marcus du Sautoy, de la Universidad de Oxford. Trata sobre la naturaleza y su relación con las matemáticas. Por ejemplo, tomen una margarita o un girasol. Pueden ver que hay líneas curvas que van en un sentido y en el contrario. Si cuentan cuantas líneas son, en ambos sentidos, los dos números serán números de la Sucesión de Fibonacci, que comienza con 1, 1, y sigue con 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... donde un miembro de la sucesión es la suma de los dos anteriores. Y es maravilloso de verdad ver la matemática que vive en todas las cosas. Por ejemplo, en esta margarita, las líneas que se curvan hacia la izquierda son 21, y las que van hacia la derecha son 34, dos números consecutivos de la sucesión.

El video lo encuentran aquí. Se ve muy bien en pantalla completa.

Las matemáticas nos ayudan a descubrir la lógica

que subyace al mundo tan complejo y caótico en el que vivimos.

Marcus du Sautoy

Julio Verne, el profeta.

(Esta entrada contiene expresiones matemáticas que no son visibles por el momento. Disculpen las molestias. Espero arreglar este detalle pronto.)


Jules Gabriel Verne (1828 - 1925) fue y ha sido uno de los mayores exponentes de la Ciencia Ficción de toda la historia. Sus historias fueron proféticas, hablando sobre los viajes espaciales, los submarinos, el fax, el helicóptero y otras cosas. Para leer más sobre Verne en su día, pueden leer esta entrada del blog Historias de Paula, un blog que les recomiendo.

No conozco mucho de Verne. Conozco de él lo que la lectura de dos de sus novelas puede significar: "Cinco semanas en globo" y "La vuelta al mundo en 80 días". No me olvido mientras leía estas novelas. Recuerdo sobre todo "Cinco semanas en globo".

De lo que quiero hablar aquí es sobre la forma en que en su novela "De la Tierra a la Luna" describe el viaje espacial. Verne se imaginó que un cañón lo suficientemente grande podía lanzar una esfera con tripulantes dentro. Parte de la información que presentaré la extraigo de los libros Física Recreativa, 1 y 2 de Yakov Perelman.

Allá por los años 1865-1870 apareció en Francia la novela fantástica de Julio Verne "De la Tierra a la Luna", en la cual se expone una idea extraordinaria: la de enviar a la Luna un gigantesco proyectil tripulado, disparándolo con un cañón. Julio Verne describe su proyecto de una forma tan verosímil, que la mayoría de sus lectores se harían seguramente la pregunta: ¿no se podría realizar esta idea?

La Tierra presenta una atracción gravitatoria a todo lo que intente escapar de ella. Para huir de esta fuerza hay que ser lo suficientemente rápidos. ¿A qué velocidad se imaginan que tiene que volar un cohete para dejar la Tierra? Hablando en abstracto: la velocidad de escape es aquella velocidad que hay que darle a un cuerpo para que llegue al infinito con velocidad nula. Más físicamente hablando: es la velocidad que tiene que tener para salir de la atracción gravitatoria de un cuerpo celeste. Este valor, para la Tierra, corresponde a 11.2 km/s. ¡Zum! Eso es muy rápido.

En "De la tierra a la Luna" Verne describe su ingeniosa máquina: un cañón que mide 250 metros de largo y que está enterrado verticalmente. En el interior se encuentra el proyectil: una esfera de 8 toneladas. Para dispararlo se necesitan 160 toneladas de nitrocelulosa. Verne describe que el proyectil sale lanzado a 16 km/s, aunque es relentizado hasta 11 km/s debido a la fricción con la atmósfera.

Perelman dice que demostró, en un libro llamado "Viajes Interplanetarios" que ningún cañón a base de pólvora puede disparar un proyectil a más de 3 km/s. Así también un cuerpo que está sumergido en un fluido suele ser frenado por el mismo, y la fuerza que lo frena es proporcional a la velocidad. Se sabe que a muy altas velocidades este freno suele ser proporcional al cuadrado de la velocidad (o similar), es decir, la fricción crece muy rápido al aumentar la velocidad. Pero supongamos que omitimos esto. Vamos a creerle a Verne.

¿Ahora, qué pasa con los pasajeros? ¿Resistirán la velocidad a la que es lanzada el proyectil que los enviará a la Luna, resistirán la aceleración? Voy a introducir algunas ecuaciones sólo para ilustrar lo que pasa.

En la novela se menciona que parte del cañón está lleno de nitrocelulosa, y que la parte libre, por la cuál se moverá el proyectil, tiene una longitud, que llamaremos S, de 210 metros. Conocemos la velocidad final: v = 16,000 m/s. Sabemos que la distancia, S, viene dada por la siguiente ecuación

$S=\dfrac{at^{2}}{2}$

Donde a es la aceleración del proyectil y t el tiempo en que éste recorre el interior del cañón. Y que la velocidad, la podemos ver como

$v=at$

Supongamos que el proyectil se mueve dentro del cañón con una aceleración constante, para simplificar, porque de otra forma tendríamos una variación de fuerzas, y no queremos complicar los cálculos. Entonces ya tenemos los datos necesarios para saber en cuánto tiempo salió el proyectil después de ser detonada la nitrocelulosa.

$v=at=16000\, m/s$, y también $210\, m=S=\dfrac{at\cdot t}{2}=\dfrac{(16000\, m/s)\cdot t}{2}=(8000\, m/s)\cdot t$

De aquí tan sólo despejamos la t, y nos queda

$t=\dfrac{210\, m}{8000\, m/s}=\dfrac{1}{40}s$

¡Un cuarentavo de segundo! Eso es lo que tarda el proyectil en recorrer el largo del cañón.

Entonces si alcanza 16 mil metros por segundo en tan sólo un cuarentavo de segundo, la aceleración (velocidad entre tiempo) debe ser aterradoramente grande. Si sustituimos los datos de velocidad y tiempo que tenemos, entonces

$a=\dfrac{v}{t}=\dfrac{16000\, m/s}{\dfrac{1}{40}\, s}=640000\, m/s^{2}$

Eso son más de 640,000 veces la aceleración de la gravedad. En la pruebas de los pilotos se llegan a experimentar unos 7 G (1 G es igual a la aceleración gravitacional terrestre), cuando estos se dejan caer en picada (que es en donde alcanzan una mayor aceleración). Y si el organismo humano ya tiene ligeros problemas con soportar 7 G (organismo humano, no saiyajin, como Gokú, de Dragon Ball, que soportaba hasta 100 G en la máquina del Dr. Brief, papá de Bulma, de la Capsule Corp). Nuestros protagonistas necesitan al menos estar en supersaiyajin fase 4 para soportar tal atrocidad. Y ni así.

Bueno, no es posible soportar tal aceleración. Pero y ¿qué podemos hacer para que sea factible, con una aceleración 10 veces la de la Tierra (para que los viajeros no sufran tanto), disparar el proyectil a la velocidad necesaria para que salga de la atmósfera? Respuesta: tenemos que alargar el cañón. Al hacerlo más grande, el proyectil irá acelerando paulatinamente y tendrá más tiempo para alcanzar la velocidad de escape.

Pongamos que la aceleración fuese 100 m/s^2 (unos 10G) y que la velocidad terminal sea de 11,000 m/s (estamos considerando, como lo hace Perelman, que no hay fricción del aire, y por tanto hace falta dicha velocidad para escapar de la Tierra).

Entonces, por 

$v=at$

tenemos que

$t=\dfrac{v}{a}=\dfrac{11000\, m/s}{100\, m/s^{2}}=110\, s$

Esto nos dice que con la nueva aceleración tardaría 110 segundos en alcanzar la velocidad de escape. ¿Y cuánta distancia recorre en ese tiempo?

Por la fórmula

$S=\dfrac{at^{2}}{2}=\dfrac{at\cdot t}{2}=\dfrac{(11000\, m/s)\cdot110\, s}{2}=605000\, m$

tenemos que recorrerá una distancia de 605 mil metros, 605 kilómetros. Es lo que debe medir realmente el cañón para que a los 110 segundos el proyectil tenga la velocidad de escape. Entonces así, y sólo así, el viaje resultaría factible.

Señor Verne, creo que no ha acertado en esta novela. Su método para viajar a la Luna ha resultado ser bastante malo, y sólo logrará hacer que los cuerpos de los viajeros exploten por la alta aceleración.

Que Verne se haya equivocado rotundamente en la física involucrada es esto es aceptable desde el punto de vista del gran escritor que fue. Cierto, no hay que deidificar a nadie, pero Verne fue uno de los que hizo posible que la ciencia ficción saliese disparada como bala de cañón.

¡Felicidades, Julio!, donde quiera que estés (en la Luna, tal vez. Pero esta vez llegó allí por medios factibles).